基本概念
偏导数的定义
偏导数是多变量函数对单个变量的导数，保持其他变量不变。
- 对于二元函数z = f(x, y)，其关于x的偏导数fx表示在y固定时，z对x的变化率
- 类似地，fy表示在x固定时，z对y的变化率
- 高阶偏导数包括fxx、fxy、fyx和fyy等
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$$
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h}$$
几何意义
偏导数具有重要的几何意义：
- \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 在y方向固定时的斜率，\(\frac{\partial f}{\partial y}\) 在x方向固定时的斜率
- 函数在点\(x_0, y_0\)处的切平面方程为：
$$z = f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y - y_0)$$
线性近似与函数值局部变化
- 切平面是函数在点(x₀, y₀)处的线性近似
- 可以用切平面来近似计算函数在(x₀, y₀)附近点的函数值
方向导数
- 函数在任意方向上的变化率
- 方向导数的计算公式为 \(\nabla f \cdot \vec{u}\)，其中 \(\vec{u}\) 是单位向量，\(\nabla f\) 是梯度向量
梯度向量
- 梯度向量 \(\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle\)
- 梯度方向是函数增长最快的方向，其模长是最大增长率
- 梯度垂直于等高线
可视化探索
选择函数
选择点
1.0
1.0
显示选项
函数信息
函数值: -
偏导数 fx: -
偏导数 fy: -
切平面方程: -
交互式学习
切平面近似
探索切平面如何近似函数在选定点附近的值。
| 点 (x,y) | 实际函数值 | 切平面近似值 | 误差 |
|---|
方向导数探索
探索不同方向上的方向导数。
0°
方向导数值: -
曲率与近似精度
探索曲率如何影响切平面近似的精度。